Клавдий был сыном Друза Старшего, младшего сына супруги Августа Ливии Друзиллы от её первого брака, и его жены, Антонии Младшей, дочери Марка Антония от сестры Августа, Октавии. По рождению принадлежал к патрицианскому сословию, к одному из древнейших родов — Клавдиям. При рождении получил имя в честь своего дяди Тиберия — Тиберий Клавдий и когномен ветви своего отца — Друз.